Системы подстановок
Определение Подстановкой p на алфавите Zm называется автоморфизм Zm, при котором буквы исходного текста t замещены буквами шифрованного текста p(t):
Zm à Zm; p: t à p(t).
Набор всех подстановок называется симметрической группой Zm è будет в дальнейшем обозначаться как SYM(Zm).
Утверждение SYM(Zm) c операцией произведения является группой, т.е. операцией, обладающей следующими свойствами:
1.Замкнутость: произведение подстановок p1p2 является подстановкой:
p: tàp1(p2(t)).
2.Ассоциативность: результат произведения p1p2p3 не зависит от порядка расстановки скобок:
(p1p2)p3=p1(p2p3)
3.Существование нейтрального элемента: постановка i, определяемая как i(t)=t, 0£t<m, является нейтральным элементом SYM(Zm) по операции умножения: ip=pi для "pÎSYM(Zm).
4.Существование обратного: для любой подстановки p существует единственная обратная подстановка p-1, удовлетворяющая условию
pp?1=p?1p=i.
Число возможных подстановок в симметрической группе Zm называется порядком SYM(Zm) и равно m! .
Определение. Ключом подстановки k для Zm называется последовательность элементов симметрической группы Zm:
k=(p0,p1,...,pn-1,...), pnÎSYM(Zm), 0£n<¥
Подстановка, определяемая ключом k, является криптографическим преобразованием Tk, при помощи которого осуществляется преобразование n-граммы исходного текста (x0 ,x1 ,..,xn-1) в n-грамму шифрованного текста (y0 ,y1 ,...,yn-1):
yi=p(xi), 0£i<n
где n – произвольное (n=1,2,..). Tk называется моноалфавитной подстановкой, если p неизменно при любом i, i=0,1,..., в противном случае Tk называется многоалфавитной подстановкой.
Примечание. К наиболее существенным особенностям подстановки Tk относятся следующие:
1. Исходный текст шифруется посимвольно. Шифрования n-граммы (x0 ,x1 ,..,xn-1) и ее префикса (x0 ,x1 ,..,xs-1) связаны соотношениями
Tk(x0 ,x1 ,..,xn-1)=(y0 ,y1 ,...,yn-1)
Tk(x0 ,x1 ,..,xs-1)=(y0 ,y1 ,...,ys-1)
2. Буква шифрованного текста yi является функцией только i-й компоненты ключа pi и i-й буквы исходного текста xi.
